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狄利克雷对勒让德说：“我发现了一种在实数范围内，值域不连续的函数。”
狄利克雷写出这个狄利克雷函数，勒让德看到这个函数有两个项求极限，一个是πx前的阶乘k!求极限，一个是k!πx上的2j中的j求极限。k求极限是在余弦函数之外的。
勒让德说：“这个函数处处不连续，那是不是都画不出来？”
狄利克雷说：“没错这个函数图像画不出，但是客观存在，还是个偶函数，值域是从0到1。”
勒让德说：“我看这样的函数恐怕连周期都没有？”
狄利克雷说：“以任意正有理数为其周期，无最小正周期。”
勒让德说：“我终于知道了，这个函数处处不连续，所以处处不可求导，所以也处处不可以积分，与x所包的面积大小也是一个谜。”
狄利克雷说：“没错，以现有的微积分只是，没办法积分。”
勒让德说：“但是目测也可以得到大小。”
狄利克雷说：“那只是知道个大概，没办法对此精确计算的。”
后来一个叫勒贝格的人改变了原有的黎曼积分方式，从竖形积分变成横向积分，解决了这一问题。在单位区间[0，1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间以及r上甚至任何r的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）